Fisica

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

El principio de Arquímedes es un principio físico que afirma: «Un cuerpo total o parcialmente sumergido en un fluido en reposo, experimenta un empuje vertical y hacia arriba igual al peso de la masa del volumen del fluido que desaloja». Esta fuerza1​ recibe el nombre de empuje hidrostático o de Arquímedes, y se mide en newton (en el SI). El principio de Arquímedes se formula así:

                                                          E= Pe   V= ρf   g   V

 E    = EMPUJE                                                                                                               

Pe  = PESO ESPECIFICO DEL FLUIDO   (N/m³)

pf  = DENSIDAD DEL FLUIDO

V    = VOLUMEN DEL FLUIDO DESPLAZADO   

g    = ACELERACION DE LA GRAVEDAD

m  = MASA

La explicación del principio de Arquímedes consta de dos partes como se indica en las figuras:

1. El estudio de las fuerzas sobre una porción de fluido en equilibrio con el resto del fluido.
2. La sustitución de dicha porción de fluido por un cuerpo sólido de la misma forma y dimensiones.

 

 

Energía potencial mínima.

 

         KUL.Ñ

         Supongamos un cuerpo en forma de paralepípedo de altura h, sección A y de densidad ρ_s. El fluido está contenido en un recipiente de sección S  hasta una altura b. La densidad del fluido es ρ_f>ρ_s.

         Se libera el cuerpo, oscila hacia arriba y hacia abajo, hasta que alcanza el equilibrio flotando sobre el líquido sumergido una longitud x.  El líquido del recipiente asciende hasta una altura d. Como la cantidad de líquido no ha variado S·b=S·d-A·x

         Hay que calcular x, de modo que la energía potencial del sistema formado por el cuerpo y el fluido sea mínima.

Tomamos el fondo del recipiente como nivel de referencia de la energía potencial.

El centro de masa del cuerpo se encuentra a una altura d-x+h/2. Su energía potencial es 

E_s=(ρ_s·A·h)g(d-x+h/2)

         Para calcular el centro de masas del fluido, consideramos el fluido como una figura sólida de sección S y altura d a la que le falta una porción de sección A y altura x.

·  El centro de masas de la figura completa, de volumen S·d es d/2

·  El centro de masas del hueco, de volumen A·x, está a una altura (d-x/2)

La energía potencial del fluido es E_f=ρ_f(Sb)g·y_f

La energía potencial total es E_p=E_s+E_f

        

         El valor de la constante aditiva cte, depende de la elección del nivel de referencia de la energía potencial.

         En la figura, se representa la energía potencial E_p(x) para un cuerpo de altura h=1.0, densidad ρ_s=0.4, parcialmente sumergido en un líquido de densidad ρ_f=1.0.

           

La función presenta un mínimo, que se calcula derivando la energía potencial con respecto de x e igualando a cero

En la posición de equilibrio, el cuerpo se encuentra sumergido

Energía potencial de un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido

Cuando un globo de helio asciende en el aire actúan sobre el globo las siguientes fuerzas: El peso del globo Fg=–mgj . El empuje Fe= rfVgj, siendo rf  la densidad del fluido (aire). La fuerza de rozamiento Fr debida a la resistencia del aire

Dada la fuerza conservativa podemos determinar la fórmula de la energía potencial asociada, integrando

• La fuerza conservativa peso F_g=–mgj está asociada con la energía potencial E_g=mg·y.
• Por la misma razón, la fuerza conservativa empuje F_e= rVg j está asociada a la energía potencial E_e=-r_fVg·y.

Dada la energía potencial podemos obtener la fuerza conservativa, derivando

La energía potencial asociada con las dos fuerzas conservativas es

E_p=(mg- r_fVg)y

A medida que el globo asciende en el aire con velocidad constante experimenta una fuerza de rozamiento F_r debida a la resistencia del aire. La resultante de las fuerzas que actúan sobre el globo debe ser cero.

r_f Vg- mg-F_r=0

Como r_fVg> mg a medida que el globo asciende su energía potencial  E_p disminuye.

Empleando el balance de energía obtenemos la misma conclusión

El trabajo de las fuerzas no conservativas F_nc modifica la energía total (cinética más potencial) de la partícula. Como el trabajo de la fuerza de rozamiento es negativo y la energía cinética E_k no cambia (velocidad constante), concluimos que la energía potencial final E_pB es menor que la energía potencia inicial E_pA.

Energía potencial de un cuerpo parcialmente sumergido

En el apartado anterior, estudiamos la energía potencial de un cuerpo totalmente sumergido en un fluido (un globo de helio en la atmósfera). Ahora vamos a suponer un bloque cilíndrico que se sitúa sobre la superficie de un fluido (por ejemplo agua).

Pueden ocurrir dos casos:

• Que el bloque se sumerja parcialmente si la densidad del cuerpo sólido es menor que la densidad del fluido, r_s< r_f.
• Que el cuerpo se sumerja totalmente si r_s³ r_f.

Cuando el cuerpo está parcialmente sumergido, sobre el cuerpo actúan dos fuerzas el peso mg=r_sSh·g que es constante y el empuje r_fSx·g que no es constante. Su resultante es

F=(-r_sShg+r_fSxg)j.

Donde S el área de la base del bloque, h la altura del bloque y x la parte del bloque que está sumergida en el fluido.

Tenemos una situación análoga a la de un cuerpo que se coloca sobre un muelle elástico en posición vertical. La energía potencial gravitatoria mgy del cuerpo disminuye, la energía potencial elástica del muelle kx²/2 aumenta, la suma de ambas alcanza un mínimo en la posición de equilibrio, cuando se cumple –mg+kx=0, cuando el peso se iguala a la fuerza que ejerce el muelle.

El mínimo de E_p se obtiene cuando la derivada de E_p respecto de y es cero, es decir en la posición de equilibrio.

La energía potencial del cuerpo parcialmente sumergido será, de forma análoga

El mínimo de E_p se obtiene cuando la derivada de E_p respecto de y es cero, es decir, en la posición de equilibrio, cuando el peso se iguale al empuje. -r_sShg+r_fSxg=0

El bloque permanece sumergido una longitud x. En esta fórmula, se ha designado r como la densidad relativa del sólido (respecto del fluido) es decir, la densidad del sólido tomando la densidad del fluido como la unidad.

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/estatica/arquimedes/arquimedes.htm