Identidades
trigonométricas fundamentales
1Relación seno coseno
cos² α + sen² α = 1
2Relación secante tangente
sec² α = 1 + tg² α
3Relación cosecante cotangente
cosec² α = 1 + cotg² α
Ejemplos:
1 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º <
α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
2 Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º
<α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Razones trigonométricas de la suma y diferencia de ángulos
Ejemplos:
Razones trigonométricas del ángulo doble
Ejemplos:
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Ejemplos:
Transformación de operaciones
1 Transformaciones de sumas en
productos
Ejemplos:
2 Transformaciones de productos
en sumas
Ejemplos:
En las
fórmulas de la suma de dos ángulos hacemos a=b o a=b,
para obtener:
cos(2a)=cos(a+a)=cosacosa-senasena=
=cos2a-sen2a
|
sen(2a)=sen(a+a)
= sen(a) cos(a) + sen(a) cos(a) =2 sen a cos a
|
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Razones trigonométricas
del ángulo mitad
Sabemos que cos2x = cos2x-sen2x = 2cos2x -1 = 1-sen2x y
despejando el sen2x y
el cos2x,
obtenemos:
|
y
|
Si hacemos 2x=t, tendremos:
 |
y el signo que le asignaremos dependerá del cuadrante donde
se encuentre t/2.
Análogamente:
 |
Veamos la fórmula de la tangente del ángulo mitad, para
obtenerla basta aplicar las dos anteriores:
 |
Ejemplo 1 Calcula
la tg(15o)
Solución.- Como 15o pertenece al primer cuadrante su signo
será +.
Transformaciones
de sumas y diferencias en productos
A veces en la resolución de ecuaciones e incluso en la
integración de funciones trigonométricas conviene transformar las sumas en
productos o los productos en sumas.
Consideramos \sen A±\sen B y
vamos a transformarlo en un producto, para ello hacemos
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sistema que tiene por solución A=[(a+b)/2]
y B=[(a-b)/2]
(basta sumar y restar las ecuaciones para obtener la solución).
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sumando y restando las dos ecuaciones, se obtiene:
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Porcedemos de forma análoga para obtener la suma y diferencia
de cosenos:
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Resumiendo:
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Ejemplo.- Transformar en producto sen 3x + sen x
Solución.-
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Factorizacion
Factorizacion
La
factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto,
una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más pequeños
(factores), (en el caso de números debemos utilizar los números primos) que, al
multiplicarlos todos, resulta el objeto original.
La factorización
de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de
la aritmética y la factorización de polinomios (en ciertos contextos) en
el teorema fundamental del álgebra.
Todo
polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran los
números complejos . Existen métodos de factorización, para algunos casos
especiales:
·
Binomios
1.
Diferencia de cuadrados
2.
Suma o diferencia de cubos
3.
Suma o diferencia de potencias
impares iguales
·
Trinomios
1.
Trinomio cuadrado perfecto
2.
Trinomio de la forma x²+bx+c
3.
Trinomio de la forma ax²+bx+c
·
Polinomios
1.
Factor común
Caso I - Factor común
Sacar el factor común es añadir la
literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y el divisor
común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que
dice: Cuadrado del primer término más o menos cuadrado del segundo por el
primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que los dos que son
positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será
sumamente sencillo resolver los factores comunes.
Factor común monomio
Factor común por agrupación de
términos
y
si solo si el polinomio es 0 y el tetranomio nos da x.
Factor común polinomio
Primero hay que determinar el factor
común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menor
exponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un
término, sino con dos.
un ejemplo:
Se aprecia claramente que se está
repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común.
El otro factor será simplemente lo que queda del polinomio original, es decir:
La respuesta es:
En algunos casos se debe utilizar el
número 1, por ejemplo:
Se puede utilizar como:
Entonces la respuesta es:
Caso II - Factor común por agrupación
de términos
Para trabajar un polinomio por
agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las
que se repiten. Se identifica porque es un número par de términos.
Un ejemplo numérico puede ser:
entonces puedes agruparlos de la
siguiente manera:
Aplicamos el caso I (Factor común)
Caso III - Trinomio Cuadrado Perfecto
Se identifica por tener tres
términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante
equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo. Para
solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemos reordenar los términos dejando
de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos
la raíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis,
separándolos por el signo que acompaña al segundo término, al cerrar el
paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2:
Ejemplo 3:
Ejemplo 4:
Organizando los términos tenemos
Extrayendo la raíz cuadrada del
primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo
del segundo término y elevando al cuadrado nos queda:
Al verificar que el doble producto
del primero por el segundo término es -20xy determinamos que
es correcta la solución. De no ser así, esta solución no aplicaría.
Caso IV - Diferencia de cuadrados
Se identifica por tener dos términos
elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos
paréntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y
otro positivo.
O en una forma más general para
exponentes pares:
Y utilizando una productoria podemos
definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1
factores.
Ejemplo 1:
Ejemplo 2: Supongamos cualquier r,
r=2 para este ejemplo.
La factorización de la diferencia o
resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término y
representar estas como el producto de binomios conjugados.
Caso V - Trinomio cuadrado perfecto
por adición y sustracción
Se identifica por tener tres
términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que
completarlo mediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el
valor que se suma es el mismo que se resta para que el ejercicio original no
cambie.
Nótese que los paréntesis en
"(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.
Caso VI - Trinomio de la forma x2 +
bx + c
Se identifica por tener tres
términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el
término independiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales
se colocan la raíz cuadrada de la variable, buscando dos números que
multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo
ser números negativos) den como resultado el término del medio.
Ejemplo:
Ejemplo:
Caso VII - Suma o diferencia de
potencias a la n
La suma de dos números a la
potencia n, an +bn se descompone en
dos factores (siempre que n sea un número impar):
Quedando de la siguiente manera:
Ejemplo:
La diferencia también es factorizable
y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la
siguiente manera:
Ejemplo:
Las diferencias, ya sea de cuadrados
o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.
Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 +
bx + c
En este caso se tienen 3 términos: El
primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo
término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término
es un término independiente, o sea sin una parte literal, así:
Para factorizar una expresión de esta
forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primer
término(4x2) :
Luego debemos encontrar dos números
que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su
suma sea igual al coeficiente del término x :
Después procedemos a colocar de forma
completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en
paréntesis, además colocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :
Para terminar dividimos estos
términos por el coeficiente del término x2 :
:
Queda así terminada la
factorización :
:
Caso IX - Cubo perfecto de
Tetranomios
Teniendo en cuenta que los productos
notables nos dicen que:
EMPLEO
La factorización se emplea en la
simplificación de fracciones, en la adición y sustracción de fracciones.- Se
utiliza en la descomposición de fracciones y la descomposición, en integración
indefinida.- En el estudio de cónicas, pues pueden resultar degeneradas o un
par de rectas.- también en las cuádricas.- en la solución de ecuaciones
diferenciales.- quien no factoriza no avanza.- Y para ganar tiempo hay que
saber de memoria o tener tablitas autofabricadas ad hoc.- Es bueno ver que los
objetos matemáticos son herramientas y con la matemática recreativa son
juguetes o divertimentos.
martes, 30 de agosto de 2011
Ecuaciones Trigonometricas
En las
ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son
periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos
cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.
Para resolver ecuaciones trigonométricas, debemos sustituir lás fórmulas de los ángulos que nos vayan apareciendo.
Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.
Para resolver ecuaciones trigonométricas, debemos sustituir lás fórmulas de los ángulos que nos vayan apareciendo.
Ejemplos
Resuelve
las ecuaciones
trigonométricas:
1
2
Geometría
Plana
El punto
El punto, en geometría, es uno de
los entes fundamentales, junto con la recta y el plano. Son considerados
conceptos primarios, o sea, que sólo es posible describirlos en relación a
otros elementos similares. Se suelen describir apoyándose en los postulados característicos,
que determinan las relaciones entre los entes geométricos fundamentales.¿
El punto es un elemento geométrico
adimensional, no es un objeto físico; describe una posición en el espacio,
determinada en función de
un sistema de
coordenadas preestablecido.
La recta
La recta, o línea recta, en
geometría, es el ente ideal que sólo posee una dimensión y contiene infinitos puntos; está compuesta de infinitos segmentos
(el fragmento de línea más corto que une dos puntos); también se describe como
la sucesión continua e indefinida de puntos en una sola dimensión.
Es uno de los entes geométricos
fundamentales, junto al punto y el plano. Son considerados conceptos
apriorísticos ya que su definición sólo es posible a partir de la descripción de
las características de otros elementos similares. Así, es posible elaborar
definiciones basándose en los Postulados característicos que determinan
relaciones entre los entes fundamentales. Las rectas se suelen denominar con
una letra minúscula.
El plano
El plano, en geometría, es el ente
ideal que sólo posee dos dimensiones, y contiene infinitos puntos y rectas; es
uno de los entes geométricos fundamentales junto con el punto y la recta.
Solamente puede ser definido o descrito
en relación a otros elementos geométricos similares. Se suele describir
apoyándose en los postulados característicos, que determinan las relaciones
entre los entes geométricos fundamentales.
Un plano queda definido por los
siguientes elementos geométricos:
·
Tres puntos no alineados.
·
Una recta y un punto exterior a ella.
·
Dos rectas paralelas.
·
Dos rectas que se cortan.
Los planos suelen nombrarse con una
letra del alfabeto griego.
Suele representarse gráficamente,
para su mejor visualización, como una figura delimitada por bordes irregulares
(para indicar que el dibujo es una
parte de una superficie infinita).
Segmento
Un segmento, en geometría, es un
fragmento de recta que está comprendido entre dos puntos.
Así, dados dos puntos A y B, se le
llama segmento AB a la intersección de la semirrecta de origen A que contiene
al punto B, y la semirrecta de origen B que contiene al punto A. Luego, los
puntos A y B se denominan extremos del segmento, y los puntos de la recta a la
que pertenece el segmento (recta sostén), serán interiores o exteriores al
segmento según pertenezcan o no a este.
Ángulo
Un ángulo es la
"abertura" entre dos líneas que se cruzan en un punto. Esta noción de
ángulo es muy familiar para nosotros, pues durante nuestra vida hemos observado
y descrito los ángulos de todos los objetos que vemos.En geometría se estudian
con todo detenimiento y precisión estos ángulos. Es en esta rama de las matemáticas en
donde miden y clasifican estos ángulos, se estudian sus propiedades y sus
relaciones con otros ángulos.Los ángulos se miden principalmente en grados
sexagesimales, aunque existen otros tipos de unidades para medirlos. Por
ejemplo, las revoluciones, que son vueltas enteras; los gradianes o grados
centesimales, que dividen la vuelta entera en 400 partes iguales en lugar de
360, como los grados sexagesimales.
Clasificación de los ángulos:
Ángulo recto: está
formado por el cruce de dos rectas perpendiculares que forman la cuarta parte
de una revolución, es decir,
90º.
Ángulo obtuso: un ángulo obtuso
tiene una abertura mayor a la del ángulo recto, concretamente 180º.
Ángulo agudo: un ángulo agudo tiene
una abertura menor a la del ángulo recto.
Ángulo llano: es
aquel cuyos lados son semirrectas opuestas, además el ángulo es la mitad de una
revolución, o sea, 180º.
Ángulos Complementarios: Dos
ángulos son complementarios si la suma de sus medidas es 90°.
Triángulo
Un triángulo, en geometría, es un
polígono de tres lados determinado por tres segmentos de tres rectas que se
cortan, denominados lados (Euclides); o tres puntos no alineados llamados
vértices. También puede determinarse un triángulo por cualesquiera otros tres
elementos relativos a él, como por ejemplo un ángulo y dos medianas; o un lado,
una altura y una mediana.
Si está contenido en una superficie
plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo
de polígonos. Si está
contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico.
Representado, en cartografía, sobre la
superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.
Clasificación
por las longitudes de sus lados
·
Triángulo equilátero: si sus
tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados
ó 
radianes).
radianes).
·
Triángulo isósceles: si
tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se oponen a estos lados
tienen la misma medida.
·
Triángulo escaleno: si
todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay
ángulos con la misma medida.
Según la
amplitud de sus angulos
·
Triángulo rectángulo: si
tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo
recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
·
Triángulo obtusángulo: si uno
de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de
90°).
·
Triángulo acutángulo: cuando
sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso
particular de triángulo acutángulo.
Líneas y
puntos notables en un triangulo
Altura es el
segmento perpendicular comprendido entre un vértice y el lado opuesto.
Ortocentro es el
punto de intersección de las tres alturas de un triángulo.
Mediana es el
segmento comprendido entre un vértice y el punto medio del lado opuesto.
Baricentro es el
punto de intersección de las tres medianas de un triángulo.
Bisectriz es la
semirrecta que divide a un ángulo en dos partes iguales.
Incentro es el
punto de intersección de las tres bisectrices de un triángulo. Es el centro de
la circunferencia inscrita.
Mediatriz de un
segmento es la recta perpendicular al mismo en su punto medio.
Circuncentro es el
punto de intersección de las tres mediatrices de un triángulo. Es el centro de
la circunferencia circunscrita.
Cuadrilátero
Un cuadrilátero es un polígono que
tiene cuatro lados. Los cuadriláteros tienen distintas formas pero todos ellos
tienen cuatro vértices y dos diagonales. En todos los cuadriláteros la suma de
los ángulos interiores es igual a 360º. Otros nombres usados para referirse a
este polígono son tetrágono y cuadrángulo.
Clasificación de los cuadriláteros
Paralelogramo
Un paralelogramo es un tipo
especial de cuadrilátero (un polígono formado por cuatro lados) cuyos lados son
paralelos dos a dos.
Los
paralelogramos se clasifican en:
·
Paralelogramos rectángulos, son
aquellos cuyos ángulos internos son todos ángulos rectos. En esta clasificación
se incluyen
Un cuadrado es un
cuadrilátero que tiene sus lados opuestos paralelos y, por tanto, es un
paralelogramo. Dado que sus cuatro ángulos internos son rectos, es también un
caso especial de rectángulo. De modo similar, al tener los cuatro lados
iguales, es un caso especial de rombo. Cada ángulo interno de un cuadrado mide
90 grados ó p / 2 radianes, y la suma de todos ellos es 360º ó 2p radianes.
Cada ángulo externo del cuadrado mide 270º ó 3p / 2 radianes.
Un rectángulo es un
paralelogramo cuyos cuatro lados forman ángulos rectos entre sí. Los lados
opuestos tienen la misma longitud.
·
Paralelogramos no rectángulos, son
aquellos que tienen dos ángulos internos agudos y dos ángulos internos obtusos.
En esta clasificación se incluye:
El rombo es un
cuadrilátero paralelogramo. Sus cuatro lados son iguales en longitud y son
paralelos dos a dos. El cuadrado es un caso particular de rombo.
En geometría, se
denomina romboide al
paralelogramo cuyos ángulos no son rectos (no es rectángulo) y cuyos cuatro
lados no son de igual longitud (no es un rombo).
No paralelogramos
Un trapecio es un
cuadrilátero que tiene dos lados paralelos y otros dos no paralelos. Los lados
paralelos se llaman bases del trapecio y la distancia entre ellos se llama
altura. Se denomina mediana al segmento que tiene por extremos los puntos medios de los
lados no paralelos.
Un trapezoide es un
polígono cuadrilátero tal que ninguno de sus cuatro lados es paralelo a otro.
El trapezoide no tiene propiedades
especiales, excepto las que son propias de todo cuadrilátero convexo, como que
la suma de sus ángulos internos es de 360º. Los trapezoides pueden ser
inscriptibles si la suma de sus ángulos opuestos es de 180º. Del mismo modo,
puede ser circunscriptible si las sumas de sus pares de lados opuestos son
iguales entre sí por eso no son paralelogramos.
Círculo y circunferencia
Un círculo, en geometría,
es el conjunto de los puntos de un plano que se encuentran contenidos en una
circunferencia. Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a
otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.
En castellano, la palabra
círculo tiene varias acepciones, la primera: una superficie geométrica plana
contenida dentro de una circunferencia con área definida; mientras que se
denomina circunferencia a la curva geométrica plana, cerrada, cuyos puntos son
equidistantes del centro, y sólo posee longitud. "Aunque ambos conceptos
están relacionados, no debe confundirse la circunferencia (línea curva) con el
círculo (superficie)."
Una circunferencia es el
lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes de otro fijo, llamado
centro; esta distancia se denomina radio. Sólo posee longitud. Se distingue del
círculo en que este es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una
circunferencia determinada, es decir, la circunferencia es el perímetro del
círculo cuya superficie contiene.
Puede ser considerada como una
elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También
se puede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie
cónica o cilíndrica, o como un polígono de infinitos lados, cuya apotema
coincide con su radio.
La circunferencia de centro en el
origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad.
Es una curva bidimensional con
infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.
Elementos de
la circunferencia
·
Centro del círculo, que se
corresponde con el centro de la circunferencia, del cual equidistan todos los
puntos de esta.
·
Radio, es el
segmento que une el centro con un punto de la circunferencia;
·
Diámetro, el
mayor segmento que une dos puntos de la circunferencia y, lógicamente, pasa por
el centro;
·
Cuerda, el
segmento que une dos puntos de la circunferencia; las cuerdas de longitud
máxima son los diámetros;
·
Arco, segmento
curvilíneo de puntos pertenecientes a la circunferencia.
Fórmulas
Conclusión
El trabajo realizado
nos ha ayudado a realizar un análisis de los
conocimientos adquiridos en años anteriores, referente a la geometría plana.
Gracias a la investigación realizada
afianzamos nuestros conocimientos referentes a los elementos fundamentales de
la geometría, las rectas notables, clasificamos las relaciones entre
cuadriláteros, como también de triángulos,
circunferencia y círculos.
Planteamos y resolvemos situaciones
problemáticas referente a las figuras mencionadas aplicando fórmulas
pertinentes y teoremas fundamentales.
Leer más: http://www.monografias.com/trabajos72/geometria-plana/geometria-plana2.shtml#ixzz4q8qugLPT
Geometría del espacio. Rama de la geometría que se ocupa de las propiedades y
medidas de figuras geométricas en el espacio tridimensional. Entre estas
figuras, también llamadas sólidos, se encuentran el cono, el cubo, el cilindro, la pirámide,
la esfera y el prisma. La geometría del espacio amplía y refuerza las proposiciones
de la geometría plana, y es la base fundamental de la trigonometría esférica, la geometría analítica del
espacio, la geometría descriptiva y otras ramas de las matemáticas. Se usa ampliamente en
matemáticas, en ingeniería y en ciencias naturales.
Contenido
Nociones
preliminares
·
Punto: Es la marca que deja un lápiz sobre una hoja, la intersección
de dos rectas, etc.
·
Plano: Una porción de espacio.
·
Recta: Línea que pasa por dos puntos cualesquiera.
Espacio
El espacio es el conjunto de puntos en el cual
hay algunos subconjuntos llamados rectas y otros subconjuntos llamados planos.
Características de los subconjuntos llamados
rectas
·
Dos puntos determinan una recta y solo una.
·
Por un punto pasan infinitas rectas.
·
El conjunto de puntos de una recta se puede poner en
correspondencia biunívoca con el conjunto de los números reales, de manera que
se conserva el orden.
·
Si dos rectas tienen dos puntos en común son coincidentes.
Características de los subconjuntos llamados
planos
·
Por tres puntos del espacio, no situados en línea recta, pasa un
plano y solo uno.
·
si dos planos tienen un punto en común, entonces tienen una
recta común que contiene a ese punto (recta de intersección).
·
Si una recta tiene dos puntos en un plano, entonces están
contenida en dicho plano.
Plano
Un plano está determinado por:
·
Tres puntos no alineados.
·
Dos rectas que se cortan determinan un plano y solo uno.
·
Dos rectas paralelas.
·
Una recta y un punto exterior a esta.
Rectas y
planos
·
Una recta y un plano son paralelas si no se intersecan.
·
Una recta es paralela a un plano si es paralela a una recta
contenida en dicho plano (Criterio de paralelismo de recta y plano).
Se dice que una recta interseca a un plano si
tiene un punto común con el plano, entonces pueden ocurrir dos cosas.
·
La recta es perpendicular a todas las rectas del plano que pasan
por su punto de intersección.
·
La recta es perpendicular, al menos, a una de las rectas que
pasan por su punto de intersección.
Rectas en el
espacio
Dos rectas en el espacio son paralelas si y
solo si están contenidas en un plano, y son paralelas en ese plano.
Dos rectas en el espacio pueden no ser
paralelas y no cortarse; en general, son posibles las relaciones siguientes:
·
Las rectas están en un plano y entonces se cortan, o son
paralelas.
·
Las rectas no están en un plano y entonces no se cortan. En este
caso se dice que se cruzan o que son alabeadas.
Criterio de
perpendicularidad de recta y plano
Si una recta perpendicular a dos rectas de un
plano que se cortan en su pie, entonces es perpendicular al plano.
Criterio de
paralelismo de recta y plano
Una recta es paralela a un plano si es
paralela a una recta contenida en dicho plano.
Distancia de
un punto a un plano
Si desde un punto se traza una perpendicular y
varias oblicuas a un plano, la perpendicular es menor que las oblicuas.
Llamaremos distancia de un punto a un plano a
la longitud del segmento de perpendicular comprendido entre el punto y el
plano.
Proyección de
una oblicua y ángulo entre una oblicua y un plano
Llamamos proyección de una oblicua AB sobre un
plano α, al segmento A’B que une el pie de la oblicua con el pie de la
perpendicular bajada desde el mismo punto A al plano α.
Llamamos ángulo entre una oblicua AB y un
plano α, al ángulo ∂ formado por la oblicua y su proyección sobre el α.
TABLA DE ÁREAS Y VOLÚMENES
|
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cuadrado
A = a2
|
triángulo
A = B · h / 2
|
 |
||
 |
rectángulo
A = B · h
|
romboide
A = B · h
|
 |
||
 |
rombo
A = D · d / 2
|
trapecio
A = (B + b) · h / 2
|
 |
||
 |
polígono regular
|
círculo
A = π · R2
P = 2 · π · R
|
 |
||
 |
corona circular
A = π · (R2 - r2)
|
sector circular
A = π · R2 · n / 360
|
 |
||
 |
cubo
A = 6 · a2
V = a3
|
cilindro
A = 2 · π · R · (h + R)
V = π · R2 · h
|
 |
||
 |
ortoedro
A = 2 · (a·b + a·c + b·c)
V = a · b · c
|
cono
V = π · R2 · h / 3
|
 |
||
 |
prisma recto
A = P · (h + a)
|
tronco de cono
A = π · [g·(r+R)+r2+R2]
V = π · h · (R2+r2+R·r)
/ 3
|
 |
||
 |
tetraedro regular
A = a2 · √3
V = a2 · √2 / 12
|
esfera
A = 4 · π · R2
V = 4 · π · R3 / 3
|
 |
||
 |
octaedro regular
A = 2 · a2 · √3
V = a3 · √2 / 3
|
huso. cuña esférica
A = 4 · π ·R2 · n / 360
V = VEsf · n / 360
|
 |
||
 |
pirámide recta
A = P · (a + a') / 2
V = AB · h / 3
|
casquete esférico
A = 2 · π · R · h
V = π · h2 ·
(3·R - h) / 3
|
 |
||
 |
tronco de pirámide
A=½(P+P')·a+AB+AB'
V = (AB+AB'+√AB·√AB')
· h/3
|
zona esférica
A = 2 · π · R · h
V = π·h·(h2+3·r2+3·r'2)
/ 6
|
 |
||
|
(2) g es la generatriz
; √ es la raíz cuadrada del número
(3) AB es el área de la
base ; h es la altura
; R y r son los radios ;
|
|||||
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